Subcapitolul 2 - 1.2 Metode de calcul - Normativ din 2012 privind calculul loviturii de berbec la conductele pentru transportul apei - Indicativ NP 128:2011

M.Of. 129 bis

În vigoare
Versiune de la: 23 Martie 2012
SUBCAPITOLUL 2:1.2 Metode de calcul
SECŢIUNEA 0:
(1)Fenomenele de lovitură de berbec au un caracter ondulatoriu. O modificare a condiţiilor la limită, într-un punct oarecare al conductei, provoacă schimbări locale ale debitului şi presiunii, schimbări care se transmit din aproape în aproape, cu viteză finită, numită viteză de propagare, pe seama elasticităţii lichidului şi a materialului conductei, formând unde plane de debit şi respectiv de presiune.
(2)În cazul loviturii de berbec, viteza de propagare se confundă practic cu celeritatea, adică cu viteza de propagare în lichidul aflat în repaus.
(3)Prin perturbaţie se va înţelege variaţia (creşterea sau descreşterea) de debit sau de presiune care se propagă.
(4)Caracteristica principală a undelor de debit şi de presiune este aceea că sunt unde asociate deoarece ele se formează şi se propagă simultan, formând împreuna unda sonică; între undele asociate există o relaţie bine determinată, cunoscută sub numele de relaţia lui Jukovski.
SECŢIUNEA 1:1.2.1 Celeritatea
(1)Viteza cu care se propagă undele asociate prin fluidul în repaus se numeşte celeritate şi este egală cu viteza sunetului (viteza de propagare a micilor perturbaţii prin conductă).
a)valoarea celerităţii este esenţială pentru corectitudinea calculului de lovitură de berbec; de aceea, este necesar să se cunoască valoarea sa reală sau să se aprecieze o valoare cât mai apropiată de cea reală.
(2)În acest sens, valorile cele mai corecte sunt cele obţinute direct de la furnizorii conductelor care, la rândul lor, trebuie să le determine pe cale experimentală, apelând la laboratoare de specialitate.
(3)În cazul când valoarea celerităţii nu se poate obţine în acest fel, direct de la furnizori, aceasta se poate aprecia cu ajutorul formulei de mai jos care este, însă, valabilă doar pentru conducte confecţionate dintr-un material omogen (nu se aplică, de exemplu, la conducte din beton armat, din materiale compozite, stratificate etc.).
(4)Formula ţine seama de elasticitatea fluidului dar şi a peretelui conductei precum şi de condiţiile de rezemare ale acesteia.
(5)În această relaţie, s-au făcut următoarele notaţii:
- este modulul de elasticitate al lichidului. Pentru apă = 2,1.104 kgf/cm2 = 2,1.9,81.108 Pa;
- este densitatea lichidului. Pentru apă = 1 000 kg/m3= 101,9 kgf.s2/m4;
- E este modulul de elasticitate al materialului din care este confecţionată conducta.
Pentru oţel, E = 2,1.106 kgf/cm2 = 2,1.9,81.1010 Pa
Pentru fontă, E = 1.106 kgf/cm2 = 1.9,81.1010 Pa
Pentru beton, E=2.105 kgf/cm2 = 2.9,81.109 Pa
Pentru azbociment, E = 2.105 kgf/cm2 = 2.9,81.109 Pa
Pentru cauciuc, E=20... 60 kgf/cm2 = (20... 60).9,81.104 Pa
- D este diametrul interior al conductei;
- e este grosimea peretelui conductei;
- C1 este un coeficient care ţine seama de grosimea peretelui conductei şi de condiţiile de rezemare ale acesteia, astfel:
a)La conducte cu peretele subţire (D/e>25) şi dacă sunt permise deplasările longitudinale:
C1 = 1
b)La conducte cu peretele subţire (D/e>25) la care deplasările longitudinale sunt împiedicate:
c)La conducte cu peretele gros (D/e<25) şi dacă sunt permise deplasările longitudinale:
d)La conducte cu peretele gros (D/e<25) şi dacă deplasările longitudinale sunt împiedicate:
SECŢIUNEA 2:1.2.2. Unde directe şi unde inverse
(1)Clasificarea în "unde directe" şi "unde inverse " este convenţională şi este importantă, mai ales, pentru aplicarea formulelor de calcul în cadrul metodelor de calcul.
(2)Criteriul de clasificare îl constituie un sens de parcurgere pozitiv al conductei care se alege în mod convenţional.
(3)Undele directe sunt cele care se deplasează în sensul pozitiv iar undele inverse sunt cele care se deplasează în sensul negativ.
SECŢIUNEA 3:1.2.3. Relaţia lui Jukovski
(1)Relaţia dintre cele două unde asociate, unda de presiune p = pf - pi şi unda de debit Q = Qf - Qi este cunoscută sub numele de relaţia lui Jukovski şi este următoarea:
semnul "plus" fiind valabil pentru undele directe iar semnul "minus", pentru undele inverse.
(2)Relaţia lui Jukovski se mai foloseşte practic şi sub forma:
unde H = Hf - H; este unda de cotă piezometrică.
(3)În relaţiile de mai sus, indicii f şi i semnifică valori finale, respectiv, iniţiale iar z şi m se numesc "rezistenţă de undă" (prin analogie cu fenomenele din electricitate) având expresiile de mai jos:
(4)Relaţia lui Jukovski se mai foloseşte practic şi pentru calculul variaţiei de presiune care se produce la închiderea bruscă a unei vane, când poate fi folosită şi sub forma
unde V = Vf - Vi este variaţia de viteză care se produce prin închiderea vanei.
În toate aceste relaţii:
- este densitatea lichidului;
- c este celeritatea;
- A este aria secţiunii transversale a conductei;
- V este viteza medie pe secţiune;
- Q este debitul;
- p este presiunea;
- H = z + p/ este cota piezometrică;
- z este cota ax conducta:
- = .g este greutatea specifica;
- g este acceleraţia gravitaţiei.
SECŢIUNEA 4:1.2.4. Reflexia şi refracţia undelor
(1)Ca în orice fenomen ondulatoriu, şi în cazul undelor sonice se produc fenomenele de reflexie şi de refracţie atunci când se schimbă condiţiile de propagare. De exemplu (fig. 1.1), o undă incidentă 1 care se propagă pe o conductă cu rezistenţa de undă z1 şi care ajunge într-un punct în care caracteristicile conductei se modifică brusc, rezistenţa de undă devenind z2, suferă fenomenul de reflexie prin care se creează unda reflectată 1 şi respectiv fenomenul de refracţie prin care se creează unda refractată 2.
Fig. 1.1. Reflexia şi refracţia undelor:
1 - unda incidentă; 2 - unda refractată; 1 - unda reflectată
(2)Fenomenele de reflexie şi de refracţie se cuantifică cu ajutorul următorilor coeficienţi:
a)Coeficientul de reflexie al undei de debit:
b)Coeficientul de reflexie al undei de presiune:
c)Coeficientul de refracţie al undei de debit:
d)Coeficientul de refracţie al undei de presiune
(3)În cazul când unda incidentă ajunge în dreptul unui rezervor de dimensiuni foarte mari (z2 = 0) sau în cazul când unda incidentă ajunge în dreptul unui capăt închis de conductă (z2=infinit), are loc fenomenul de reflexie totală, când nu există unde refractate. Din formulele de mai sus, rezultă următorii coeficienţi de reflexie totală pentru cele două cazuri frecvent întâlnite la capetele sistemelor hidraulice şi anume:
a)cazul unui rezervor de mari dimensiuni
b)cazul unei conducte (vane) închise
(4)Coeficientul de reflexie al undei de presiune pentru cazul unui rezervor de mari dimensiuni este, în mod particular, interesant întrucât el explică efectul protector al castelelor de echilibru şi al hidrofoarelor de protecţie. Valoarea lp=-1 semnifică faptul că o perturbaţie de presiune este reflectată cu semn schimbat şi, suprapunându-se peste unda incidentă, îi anulează efectul iniţial (o creştere de presiune se transformă, prin reflexie, într-o descreştere de presiune care anulează, cel puţin parţial, creşterea iniţială, şi invers).
SECŢIUNEA 5:1.2.5. Metoda undelor fizice
(1)Cunoscând caracterul ondulatoriu al loviturii de berbec, această metodă calculează variaţia în timp a debitului şi a presiunii prin compunerea diferitelor unde care se propagă pe conductă.
(2)Metoda de calcul a undelor fizice constă în suprapunerea efectelor diferitelor unde care au trecut, de-a lungul timpului, printr-o secţiune a conductei. Formulele care dau cota piezometrică şi debitul într-o secţiune oarecare sunt:
- în care H0 şi Q0 sunt valori iniţiale, iar sunt undele directe şi inverse, de cotă piezometrică şi de debit, care au trecut prin secţiune de la momentul iniţial până la momentul de calcul.
(3)Întrucât pe conductă se propagă atât undele produse direct de către schimbarea condiţiilor la limită cât şi cele reflectate sau refractate, numărul de unde care trebuie compuse este atât de mare încât metoda nu poate fi aplicată practic decât în cazuri extrem de simple; la instalaţii mai complicate, în fapt la cele reale, metoda poate fi folosită, eventual, numai pentru a studia primele momente de desfăşurare ale fenomenului.
(4)În concluzie, metoda undelor fizice poate fi folosită doar pentru calcule extrem de simple precum şi în scop didactic, pentru înţelegerea desfăşurării fenomenului de lovitură de berbec şi a modului în care diferite dispozitive modifică caracterul loviturii de berbec.
SECŢIUNEA 6:1.2.6. Metoda undelor de calcul
(1)Pornind de la metoda undelor fizice:
printr-un artificiu simplu (înmulţind a doua relaţie cu m şi apoi, adunând-o şi scăzând-o din prima, rezultă:
(2)Din aceste relaţii rezultă că:
a)expresia H+mQ are caracter de undă directă în sensul că ea păstrează o valoare constantă pentru un "observator" care se deplasează în sensul pozitiv cu viteza c (celeritatea); din acest motiv, această expresie poartă numele de "undă de calcul directă" sau "invariant Riemann direct";
b)expresia H-mQ are caracter de undă inversă în sensul că ea păstrează o valoare constantă pentru un "observator" care se deplasează în sensul negativ cu viteza c (celeritatea); din acest motiv, această expresie poartă numele de "undă de calcul inversă" sau "invariant Riemann invers";
(3)Se precizează că aceste relaţii sunt valabile în lipsa pierderilor de sarcină (pe modelul de fluid ideal, lipsit de vîscozitate); pentru a suplini această deficienţă a modelului de calcul, toate pierderile de sarcină (inclusiv cele liniare) se introduc concentrat, sub forma unor pierderi de sarcină locale, respectiv a unor "dispozitive" (diafragme fictive) plasate în nodurile de calcul.
(4)Faptul că metoda undelor de calcul operează cu valori globale ale parametrilor şi nu cu variaţii ale acestora face ca această metodă să fie mult mai practică. În plus, pentru că diferitele condiţii la limită se exprimă, de cele mai multe ori, ca nişte relaţii tot între valorile globale ale parametrilor, această metodă poate fi folosită şi în cazurile când pe conductă există condiţii la limită complicate, cum sunt cele impuse de pompe, hidrofoare, castele, vane simple sau cu închidere programată etc.
Fig. 1.2. Metoda undelor de calcul - problema elementară (nod simplu)
(5)De aceea, aceasta este metoda aplicată practic pentru calculul loviturii de berbec la instalaţii reale şi ea stă la baza unor algoritmi foarte eficienţi şi a unor programe de calcul electronic automat, folosind principiul diferenţelor finite.
(6)Existenţa undelor de calcul permite scrierea de sisteme de ecuaţii formate dintr-un număr de relaţii egal cu numărul necunoscutelor.
(7)Metoda undelor de calcul a fost elaborată de Riemann (1860) în cazul general şi aplicată pentru cazul loviturii de berbec de Schnyder (1929) şi apoi de Bergeron (1935) care a făcut o prezentare generală şi sistematică a ei.
(8)Expresiile constante H+mQ şi H-mQ poartă numele de invarianţi Riemann, după numele celui care a descoperit condiţiile în care aceste expresii se menţin constante. Expresiile respective au fost notate de Riemann respectiv cu R şi S, notaţie care s-a folosit şi în continuare.
(9)Posibilităţile metodei sunt valorificate la maximum prin folosirea diferenţelor finite aplicate în formă numerică. În trecut, când nu existau posibilităţile de calcul oferite de calculatoarele actuale, s-au folosit şi metode grafice sau hibride care actualmente sunt total depăşite.
(10)Folosirea diferenţelor finite aplicate în formă numerică este explicată pe scurt cu notaţiile din figura 1.2. Conducta se împarte în tronsoane de calcul delimitate de noduri de calcul iar în figură sunt desenate trei noduri succesive (K-1, K, K+1). Tronsoanele pot avea rezistenţe de undă diferite, identificate cu indicele nodului mai mare iar în nodurile de calcul, valorile debitului şi cotei piezometrice pot fi diferite de o parte şi de alta a nodului.
(11)Considerând că timpii de parcurs ai tronsoanelor sunt egali între ei şi egali, la rândul lor, cu pasul de calcul în timp din metoda diferenţelor finite tK = tK+1 = t, proprietatea undelor de calcul conduce la următoarele relaţii de undă:
unde j şi j+1 reprezintă două momente succesive: tj+1 = tj + t.
(12)Simplificând notaţiile, aceste relaţii se scriu:
(13)Cunoscând debitele şi cotele piezometrice de la "momentul iniţial" j (adică, valoarea invarianţilor Riemann) se obţin astfel două relaţii între valorile debitelor şi cotelor piezometrice de la "momentul final" j+1. Necunoscutele (valorile debitelor şi cotelor piezometrice de la momentul final, ) fiind în număr de patru, pentru "închiderea" sistemului de ecuaţii mai trebuie adăugate încă două relaţii.
a)În cazul "nodului simplu" (figura 1.2), aceste relaţii sunt:
b)În cazul "nodului cu diafragmă", adică o pierdere de sarcină locală cu modulul de rezistentă hidraulică Mk (figura 1.3), aceste relaţii sunt:
(14)Acest tip de nod se foloseşte în mod curent pentru a prinde în calcule efectul pierderilor de sarcină liniare, dar ecuaţiile respective pot fi folosite şi în cazul când pe conductă se află o rezistenţă locală reală aşa cum este cazul vanelor cu sau fără închidere programată, clapete de sens (de reţinere) ş.a. De la caz la caz, Mk poate fi constant sau variabil după o lege cunoscută.
Fig. 1.3. Nod interior cu diafragma (cu modulul de rezistenta Mk)
(15)În cazul nodului cu hidrofor sau cu castel de echilibru (figura 1.4), existând un branşament (o ramificaţie), notând cu Qd debitul pe branşament şi alegând ca pozitiv sensul de intrare în nod, se poate scrie relaţia de continuitate:
(16)Notând cu Md modulul de rezistenţă al conductei de branşament, se poate scrie pierderea de sarcină pe conducta de branşament, ca diferenţă între cota piezometrică Hd în dispozitiv şi cota piezometrică din conductă. Considerând, pentru a nu complica ecuaţiile, că în nodul cu asemenea dispozitive nu există "diafragmă" se poate scrie:
(17)S-au scris, deci, încă trei ecuaţii, dar au apărut încă două necunoscute. În continuare ecuaţiile diferă cu natura dispozitivului.
(18)În cazul castelului (figura 1.3 b), cota piezometrică în castel Hd se confundă cu cota apei în castel Zd adică:
(19)Cunoscând forma castelului, adică secţiunea orizontală a castelului F în funcţie cota apei Zd, F=F(Zd), se poate calcula cota apei la momentul final j+1 (pentru simplificarea notaţiilor, acest indice nu s-a mai scris) pe baza cotei la momentul iniţial j şi a volumului de apă ce se transferă între castel şi conductă, din relaţia:
S-a obţinut un număr de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor.
Fig. 1.4. Nod interior cu castel sau hidrofor: a - hidrofor; b - castel
(20)În cazul hidroforului (figura 1.4 a), în mod asemănător
unde pd reprezintă presiunea în perna de gaz a dispozitivului care poate fi pusă în relaţie cu presiunea la momentul iniţial j prin relaţia de stare a gazului. Se poate folosi transformarea politropică:
unde id reprezintă volumul pernei de gaz iar n este coeficientul de transformare politropică (n = 1,0...1,4) pentru care se poate lua valoarea medie n = 1,25.
(21)Volumul de aer la momentul final j+1 poate fi calculat pe baza celui de la momentul iniţial j şi a debitului pe branşament:
(22)Pe de altă parte, cunoscând forma hidroforului, volumul pernei de gaz este cunoscut în funcţie de cota apei în hidrofor:
şi în acest caz se obţine un număr de ecuaţii egal cu cel al necunoscutelor.
(23)În cazul apariţiei cavitaţiei, conform cu schema de diferenţe finite adoptată, atât controlul apariţiei cât şi calculul efectiv al cavitaţiei se pot face numai în ipoteza cavitaţiei concentrate în nodurile schemei de calcul. De aici rezultă două neajunsuri:
a)primul şi cel mai important este acela că schema nu reflectă corect realitatea, deoarece, practic, cavitaţia se produce concentrat numai în anumite cazuri (puncte înalte sau în care panta profilului longitudinal convex suferă o puternică modificare);
b)al doilea neajuns rezultă din faptul că rezultatele calcului depind de numărul de tronsoane în care s-a împărţit conducta (de aici decurgând numărul de coloane care se separă la apariţia cavitaţiei precum şi numărul şi succesiunea ciocnirii lor).
(24)Ambele neajunsuri se pot remedia, însă numai parţial, printr-o alegere corespunzătoare a poziţiei şi numărului de noduri precum şi prin calculul diferenţiat al cavitaţiei după cum în nodul respectiv poate sau nu să apară ruperea coloanei.
(25)Calculul nodului în cavitaţie se face în două etape:
a)verificarea apariţiei cavitaţiei: se tratează nodul ca un nod obişnuit (fără cavitaţie) şi apoi se verifică dacă a apărut cavitaţia. Dacă
b)unde hcav este înălţimea vacuumetrică de producere a cavitaţiei, atunci nodul respectiv intră în cavitaţie şi calculul trebuie refăcut. În caz contrar, rezultatele calculului (pentru nod fără cavitaţie) sunt corecte.
(26)Calculul cavitaţiei foloseşte relaţiile de undă:
la care se adaugă condiţia suplimentară:
De aici rezultă:
Prin ruperea coloanei se produce o pungă de vapori al cărui volum poate fi calculat:
(27)În timp, punga de vapori evoluează având perioade de creştere sau de descreştere a volumului. La fiecare timp de calcul trebuie verificat dacă volumul pungii de vapori s-a anulat, caz în care, nodul devine un nod obişnuit (fără cavitaţie).
(28)Ecuaţiile de mai sus sunt valabile numai pentru cazul nodurilor interioare simple; pentru alte tipuri de noduri, sistemul de ecuaţii trebuie scris de la caz la caz, ţinând seama de condiţiile la limită sau de dispozitivele din nodul respectiv.
(29)În cazul nodurilor de capăt se dispune de o singură relaţie de undă, inversă sau directă, după cum nodul este situat la începutul sau la sfârşitul conductei (începutul şi sfârşitul se definesc în conformitate cu sensul pozitiv ales).
(30)Restul relaţiilor, necesare pentru a închide sistemul, se obţin din condiţiile la limită, care variază de la caz la caz. De exemplu:
a)Rezervor cu nivel constant egal cu H0: la orice moment Hk = H0;
b)Vana cu închidere bruscă: la orice moment Qk = 0;
c)Orificiu cu debuşare în atmosferă: la orice moment Hk = Zk (Zk este cota geodezică a axului orificiului).
(31)Cazul nodului cu turbo-maşini este uzual la conductele de alimentare cu apă şi poate fi cauza loviturii de berbec atunci când se întrerupe accidental alimentarea cu energie a motoarelor de antrenare (la pompe) sau la închiderea aparatului director (pentru turbine). Nu se recomandă ca, în calcule, să se înlocuiască turbo-maşina cu un alt dispozitiv mai simplu pentru că e necesar să se ţină seama de efectul inerţiei părţilor rotative şi a întregii caracteristici de funcţionare a maşinii care, de exemplu în cazul pompelor, pot contribui în mod substanţial la ameliorarea situaţiei de pe conductă.
(32)În continuare se dau relaţiile de calcul în ipoteza că în nod se află o turbo-pompă şi aceasta se găseşte în ultimul nod, deci se va folosi relaţia dată de unda directă.
(33)Se presupune ca turbo-pompa are nivelul inferior (de aspiraţie) Ha, că înălţimea sa de pompare, respectiv căderea în regim de turbină, este Hp care este funcţie de debitul Qp şi turaţia n şi că părţile rotative au un moment de inerţie total J=GD2/4g.
În aceste condiţii, se pot scrie relaţiile:
unde Hp, Qp şi n sunt legate între ele prin caracteristica generală a pompei:
(34)Turaţia la momentul final j+1 poate fi pusă în legătură cu turaţia la momentul iniţial j prin ecuaţia de mişcare a părţilor rotative:
unde:
a) este momentul de inerţie al părţilor rotative (GD2 fiind o valoare uzuală indicată de furnizori);
b) este viteza unghiulară (radiani/secundă);
c)Mm este momentul motor (se anulează dacă se întrerupe alimentarea cu energie electrică);
d)Mr este momentul hidraulic rezistent (Mr este egal cu Mm atât timp cât mişcarea este permanentă);
(35)Scriind această relaţie în diferenţe finite rezultă:
Momentul hidraulic (rezistent) este, de asemenea, o funcţie de debit şi de turaţie:
Se obţine un număr de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor.
(36)Pentru calcule foarte exacte este necesar să se dispună de caracteristica generală a turbo-pompelor instalate, atât în ceea ce priveşte înălţimea de pompare cât şi momentul rezistent, ca funcţii de debit şi turaţie.
(37)Aceste caracteristici se dau, de regulă, sub formă tabelară şi diferă, în principal, în funcţie de turaţia specifică; ele sunt întocmite în mărimi adimensionale iar mărimile de referinţă pentru debite, înălţimi de pompare, turaţii şi momente rezistente sunt respectiv:
a)QR care este debitul nominal pompei (la randament maxim);
b)HR care este înălţimea nominală de pompare (la randament maxim);
c)nR care este turaţia nominală a pompei;
d)Mr,R care este momentul rezistent corespunzător lui QR, HR, nR;
(38)Când pe aceeaşi conductă sunt racordate mai multe turbo-pompe, se poate proceda în două feluri:
a)fie se scriu relaţiile respective pentru fiecare pompă în parte, ceea ce conduce la ecuaţii şi respectiv algoritmi complicaţi;
b)fie se înlocuieşte grupul cu o singură turbo-pompă echivalentă,
(39)La grupuri de turbo-pompe identice montate în paralel, turbo-pompa echivalentă va avea aceeaşi turaţie şi aceeaşi înălţime de pompare ca şi fiecare turbo-pompă în parte în timp ce debitul şi momentul de inerţie se vor găsi prin însumarea debitelor şi respectiv momentelor de inerţie ale turbo-pompelor din grup. La grupuri de turbo-pompe în serie, debitul şi turaţia rămân neschimbate, iar înălţimile şi momentele de inerţie se adună.