Secţiunea 6 - 1.2.6. Metoda undelor de calcul - Normativ din 2012 privind calculul loviturii de berbec la conductele pentru transportul apei - Indicativ NP 128:2011

M.Of. 129 bis

În vigoare
Versiune de la: 23 Martie 2012
SECŢIUNEA 6:1.2.6. Metoda undelor de calcul
(1)Pornind de la metoda undelor fizice:
printr-un artificiu simplu (înmulţind a doua relaţie cu m şi apoi, adunând-o şi scăzând-o din prima, rezultă:
(2)Din aceste relaţii rezultă că:
a)expresia H+mQ are caracter de undă directă în sensul că ea păstrează o valoare constantă pentru un "observator" care se deplasează în sensul pozitiv cu viteza c (celeritatea); din acest motiv, această expresie poartă numele de "undă de calcul directă" sau "invariant Riemann direct";
b)expresia H-mQ are caracter de undă inversă în sensul că ea păstrează o valoare constantă pentru un "observator" care se deplasează în sensul negativ cu viteza c (celeritatea); din acest motiv, această expresie poartă numele de "undă de calcul inversă" sau "invariant Riemann invers";
(3)Se precizează că aceste relaţii sunt valabile în lipsa pierderilor de sarcină (pe modelul de fluid ideal, lipsit de vîscozitate); pentru a suplini această deficienţă a modelului de calcul, toate pierderile de sarcină (inclusiv cele liniare) se introduc concentrat, sub forma unor pierderi de sarcină locale, respectiv a unor "dispozitive" (diafragme fictive) plasate în nodurile de calcul.
(4)Faptul că metoda undelor de calcul operează cu valori globale ale parametrilor şi nu cu variaţii ale acestora face ca această metodă să fie mult mai practică. În plus, pentru că diferitele condiţii la limită se exprimă, de cele mai multe ori, ca nişte relaţii tot între valorile globale ale parametrilor, această metodă poate fi folosită şi în cazurile când pe conductă există condiţii la limită complicate, cum sunt cele impuse de pompe, hidrofoare, castele, vane simple sau cu închidere programată etc.
Fig. 1.2. Metoda undelor de calcul - problema elementară (nod simplu)
(5)De aceea, aceasta este metoda aplicată practic pentru calculul loviturii de berbec la instalaţii reale şi ea stă la baza unor algoritmi foarte eficienţi şi a unor programe de calcul electronic automat, folosind principiul diferenţelor finite.
(6)Existenţa undelor de calcul permite scrierea de sisteme de ecuaţii formate dintr-un număr de relaţii egal cu numărul necunoscutelor.
(7)Metoda undelor de calcul a fost elaborată de Riemann (1860) în cazul general şi aplicată pentru cazul loviturii de berbec de Schnyder (1929) şi apoi de Bergeron (1935) care a făcut o prezentare generală şi sistematică a ei.
(8)Expresiile constante H+mQ şi H-mQ poartă numele de invarianţi Riemann, după numele celui care a descoperit condiţiile în care aceste expresii se menţin constante. Expresiile respective au fost notate de Riemann respectiv cu R şi S, notaţie care s-a folosit şi în continuare.
(9)Posibilităţile metodei sunt valorificate la maximum prin folosirea diferenţelor finite aplicate în formă numerică. În trecut, când nu existau posibilităţile de calcul oferite de calculatoarele actuale, s-au folosit şi metode grafice sau hibride care actualmente sunt total depăşite.
(10)Folosirea diferenţelor finite aplicate în formă numerică este explicată pe scurt cu notaţiile din figura 1.2. Conducta se împarte în tronsoane de calcul delimitate de noduri de calcul iar în figură sunt desenate trei noduri succesive (K-1, K, K+1). Tronsoanele pot avea rezistenţe de undă diferite, identificate cu indicele nodului mai mare iar în nodurile de calcul, valorile debitului şi cotei piezometrice pot fi diferite de o parte şi de alta a nodului.
(11)Considerând că timpii de parcurs ai tronsoanelor sunt egali între ei şi egali, la rândul lor, cu pasul de calcul în timp din metoda diferenţelor finite tK = tK+1 = t, proprietatea undelor de calcul conduce la următoarele relaţii de undă:
unde j şi j+1 reprezintă două momente succesive: tj+1 = tj + t.
(12)Simplificând notaţiile, aceste relaţii se scriu:
(13)Cunoscând debitele şi cotele piezometrice de la "momentul iniţial" j (adică, valoarea invarianţilor Riemann) se obţin astfel două relaţii între valorile debitelor şi cotelor piezometrice de la "momentul final" j+1. Necunoscutele (valorile debitelor şi cotelor piezometrice de la momentul final, ) fiind în număr de patru, pentru "închiderea" sistemului de ecuaţii mai trebuie adăugate încă două relaţii.
a)În cazul "nodului simplu" (figura 1.2), aceste relaţii sunt:
b)În cazul "nodului cu diafragmă", adică o pierdere de sarcină locală cu modulul de rezistentă hidraulică Mk (figura 1.3), aceste relaţii sunt:
(14)Acest tip de nod se foloseşte în mod curent pentru a prinde în calcule efectul pierderilor de sarcină liniare, dar ecuaţiile respective pot fi folosite şi în cazul când pe conductă se află o rezistenţă locală reală aşa cum este cazul vanelor cu sau fără închidere programată, clapete de sens (de reţinere) ş.a. De la caz la caz, Mk poate fi constant sau variabil după o lege cunoscută.
Fig. 1.3. Nod interior cu diafragma (cu modulul de rezistenta Mk)
(15)În cazul nodului cu hidrofor sau cu castel de echilibru (figura 1.4), existând un branşament (o ramificaţie), notând cu Qd debitul pe branşament şi alegând ca pozitiv sensul de intrare în nod, se poate scrie relaţia de continuitate:
(16)Notând cu Md modulul de rezistenţă al conductei de branşament, se poate scrie pierderea de sarcină pe conducta de branşament, ca diferenţă între cota piezometrică Hd în dispozitiv şi cota piezometrică din conductă. Considerând, pentru a nu complica ecuaţiile, că în nodul cu asemenea dispozitive nu există "diafragmă" se poate scrie:
(17)S-au scris, deci, încă trei ecuaţii, dar au apărut încă două necunoscute. În continuare ecuaţiile diferă cu natura dispozitivului.
(18)În cazul castelului (figura 1.3 b), cota piezometrică în castel Hd se confundă cu cota apei în castel Zd adică:
(19)Cunoscând forma castelului, adică secţiunea orizontală a castelului F în funcţie cota apei Zd, F=F(Zd), se poate calcula cota apei la momentul final j+1 (pentru simplificarea notaţiilor, acest indice nu s-a mai scris) pe baza cotei la momentul iniţial j şi a volumului de apă ce se transferă între castel şi conductă, din relaţia:
S-a obţinut un număr de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor.
Fig. 1.4. Nod interior cu castel sau hidrofor: a - hidrofor; b - castel
(20)În cazul hidroforului (figura 1.4 a), în mod asemănător
unde pd reprezintă presiunea în perna de gaz a dispozitivului care poate fi pusă în relaţie cu presiunea la momentul iniţial j prin relaţia de stare a gazului. Se poate folosi transformarea politropică:
unde id reprezintă volumul pernei de gaz iar n este coeficientul de transformare politropică (n = 1,0...1,4) pentru care se poate lua valoarea medie n = 1,25.
(21)Volumul de aer la momentul final j+1 poate fi calculat pe baza celui de la momentul iniţial j şi a debitului pe branşament:
(22)Pe de altă parte, cunoscând forma hidroforului, volumul pernei de gaz este cunoscut în funcţie de cota apei în hidrofor:
şi în acest caz se obţine un număr de ecuaţii egal cu cel al necunoscutelor.
(23)În cazul apariţiei cavitaţiei, conform cu schema de diferenţe finite adoptată, atât controlul apariţiei cât şi calculul efectiv al cavitaţiei se pot face numai în ipoteza cavitaţiei concentrate în nodurile schemei de calcul. De aici rezultă două neajunsuri:
a)primul şi cel mai important este acela că schema nu reflectă corect realitatea, deoarece, practic, cavitaţia se produce concentrat numai în anumite cazuri (puncte înalte sau în care panta profilului longitudinal convex suferă o puternică modificare);
b)al doilea neajuns rezultă din faptul că rezultatele calcului depind de numărul de tronsoane în care s-a împărţit conducta (de aici decurgând numărul de coloane care se separă la apariţia cavitaţiei precum şi numărul şi succesiunea ciocnirii lor).
(24)Ambele neajunsuri se pot remedia, însă numai parţial, printr-o alegere corespunzătoare a poziţiei şi numărului de noduri precum şi prin calculul diferenţiat al cavitaţiei după cum în nodul respectiv poate sau nu să apară ruperea coloanei.
(25)Calculul nodului în cavitaţie se face în două etape:
a)verificarea apariţiei cavitaţiei: se tratează nodul ca un nod obişnuit (fără cavitaţie) şi apoi se verifică dacă a apărut cavitaţia. Dacă
b)unde hcav este înălţimea vacuumetrică de producere a cavitaţiei, atunci nodul respectiv intră în cavitaţie şi calculul trebuie refăcut. În caz contrar, rezultatele calculului (pentru nod fără cavitaţie) sunt corecte.
(26)Calculul cavitaţiei foloseşte relaţiile de undă:
la care se adaugă condiţia suplimentară:
De aici rezultă:
Prin ruperea coloanei se produce o pungă de vapori al cărui volum poate fi calculat:
(27)În timp, punga de vapori evoluează având perioade de creştere sau de descreştere a volumului. La fiecare timp de calcul trebuie verificat dacă volumul pungii de vapori s-a anulat, caz în care, nodul devine un nod obişnuit (fără cavitaţie).
(28)Ecuaţiile de mai sus sunt valabile numai pentru cazul nodurilor interioare simple; pentru alte tipuri de noduri, sistemul de ecuaţii trebuie scris de la caz la caz, ţinând seama de condiţiile la limită sau de dispozitivele din nodul respectiv.
(29)În cazul nodurilor de capăt se dispune de o singură relaţie de undă, inversă sau directă, după cum nodul este situat la începutul sau la sfârşitul conductei (începutul şi sfârşitul se definesc în conformitate cu sensul pozitiv ales).
(30)Restul relaţiilor, necesare pentru a închide sistemul, se obţin din condiţiile la limită, care variază de la caz la caz. De exemplu:
a)Rezervor cu nivel constant egal cu H0: la orice moment Hk = H0;
b)Vana cu închidere bruscă: la orice moment Qk = 0;
c)Orificiu cu debuşare în atmosferă: la orice moment Hk = Zk (Zk este cota geodezică a axului orificiului).
(31)Cazul nodului cu turbo-maşini este uzual la conductele de alimentare cu apă şi poate fi cauza loviturii de berbec atunci când se întrerupe accidental alimentarea cu energie a motoarelor de antrenare (la pompe) sau la închiderea aparatului director (pentru turbine). Nu se recomandă ca, în calcule, să se înlocuiască turbo-maşina cu un alt dispozitiv mai simplu pentru că e necesar să se ţină seama de efectul inerţiei părţilor rotative şi a întregii caracteristici de funcţionare a maşinii care, de exemplu în cazul pompelor, pot contribui în mod substanţial la ameliorarea situaţiei de pe conductă.
(32)În continuare se dau relaţiile de calcul în ipoteza că în nod se află o turbo-pompă şi aceasta se găseşte în ultimul nod, deci se va folosi relaţia dată de unda directă.
(33)Se presupune ca turbo-pompa are nivelul inferior (de aspiraţie) Ha, că înălţimea sa de pompare, respectiv căderea în regim de turbină, este Hp care este funcţie de debitul Qp şi turaţia n şi că părţile rotative au un moment de inerţie total J=GD2/4g.
În aceste condiţii, se pot scrie relaţiile:
unde Hp, Qp şi n sunt legate între ele prin caracteristica generală a pompei:
(34)Turaţia la momentul final j+1 poate fi pusă în legătură cu turaţia la momentul iniţial j prin ecuaţia de mişcare a părţilor rotative:
unde:
a) este momentul de inerţie al părţilor rotative (GD2 fiind o valoare uzuală indicată de furnizori);
b) este viteza unghiulară (radiani/secundă);
c)Mm este momentul motor (se anulează dacă se întrerupe alimentarea cu energie electrică);
d)Mr este momentul hidraulic rezistent (Mr este egal cu Mm atât timp cât mişcarea este permanentă);
(35)Scriind această relaţie în diferenţe finite rezultă:
Momentul hidraulic (rezistent) este, de asemenea, o funcţie de debit şi de turaţie:
Se obţine un număr de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor.
(36)Pentru calcule foarte exacte este necesar să se dispună de caracteristica generală a turbo-pompelor instalate, atât în ceea ce priveşte înălţimea de pompare cât şi momentul rezistent, ca funcţii de debit şi turaţie.
(37)Aceste caracteristici se dau, de regulă, sub formă tabelară şi diferă, în principal, în funcţie de turaţia specifică; ele sunt întocmite în mărimi adimensionale iar mărimile de referinţă pentru debite, înălţimi de pompare, turaţii şi momente rezistente sunt respectiv:
a)QR care este debitul nominal pompei (la randament maxim);
b)HR care este înălţimea nominală de pompare (la randament maxim);
c)nR care este turaţia nominală a pompei;
d)Mr,R care este momentul rezistent corespunzător lui QR, HR, nR;
(38)Când pe aceeaşi conductă sunt racordate mai multe turbo-pompe, se poate proceda în două feluri:
a)fie se scriu relaţiile respective pentru fiecare pompă în parte, ceea ce conduce la ecuaţii şi respectiv algoritmi complicaţi;
b)fie se înlocuieşte grupul cu o singură turbo-pompă echivalentă,
(39)La grupuri de turbo-pompe identice montate în paralel, turbo-pompa echivalentă va avea aceeaşi turaţie şi aceeaşi înălţime de pompare ca şi fiecare turbo-pompă în parte în timp ce debitul şi momentul de inerţie se vor găsi prin însumarea debitelor şi respectiv momentelor de inerţie ale turbo-pompelor din grup. La grupuri de turbo-pompe în serie, debitul şi turaţia rămân neschimbate, iar înălţimile şi momentele de inerţie se adună.